= \frac{2}{n+1}$$Nehmen wir die Reihe $\sum \frac{1}{n}$ (ihr seht schon, ich hab’s irgendwie mit der Reihe. Wir empfehlen dir an dieser Stelle erst weiter zu lesen, wenn du schon ein paar Übungsaufgaben zum Bestimmen von Konvergenzverhalten bearbeitet hast. Also mal wieder die Integrations-Skills ausgepackt:$$ \int_1^\infty \frac{1}{x} dx  = \lim_{c \rightarrow \infty} \int_1^c \frac{1}{x} dx = \lim_{c \rightarrow \infty} \left[ \ln(x) \right]_1^c = \lim_{c \rightarrow \infty} \ln(c) – \ln(1) = \infty $$Damit haben wir gezeigt, dass die harmonische Reihe divergiert.Im Gegensatz dazu können wir uns die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $ anschauen. Das heißt, im Wesentlichen ist das Integral auch einfach eine Art Reihe. Man sieht, dass die Fläche unterhalb der Funktion in etwa der Summe der Flächen der Rechtecke entspricht. Schauen wir das uns einmal an konkreten Beispielen an.Wir wollen zeigen, dass die harmonische Reihe divergent ist. Mit $a,b\in\mathbb{R}$:Völlig egal, wie viele Summanden die Polynome/Potenzfkt. Wir bilden wieder das dazugehörige Integral:$$ \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx  = \lim_{c \rightarrow \infty} \int_1^c \frac{1}{x^2} dx = \lim_{c \rightarrow \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^c = \lim_{c \rightarrow \infty} -\frac{1}{c} – (-1) = 1 $$Die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $ konvergiert also.Mit dem Minorantenkriterium kann man keine Konvergenz beweisen, sondern nur Divergenz! Da $(2n)!$ im Nenner und Vorfaktor in der Fakultät $2>1$, wird die Reihe konvergieren.e) Fakultät dominiert.

Das Quotientenkriterium greift hier also nicht! Im Fall eines eindeutigen Grenzwertes ist es also äquivalent zum limes.Die Reihen Exponentialreihe sowie die Reihen der trigonometrischen Funktionen sind Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $x_0=0$, $R=\infty$ und damit $x\in(-\infty,\infty)$. Jedoch fehlt bei vielen Studierenden in irgendeiner Art und Weise der Blick dafür, bei gegebener Reihe ein funktionierendes Kriterium (vlt. Das ist der Grund, warum Fakultäten die Exponentialfkt. Also, die Folge $\sqrt[n]{|a_n|}$ ist einfach:$$ \sqrt[n]{|a_n|} = \begin{cases} \frac{1}{4} & \mbox{n gerade} \\  \frac{1}{2} & \mbox{n ungerade} \end{cases} $$und sie hat offenbar zwei Häufungspunkte, nämlich $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{2}$. $q\in(-1,1)$).Absolute Konvergenz, normale Konvergenz, Folgen und Reihen, Unimathematik | Mathe by Daniel JungSummenformeln, Mathehilfe online | Mathe by Daniel JungNotwendiges Kriterium für Konvergenz bei Reihen, Unimathematik, Erklärvideo | Mathe by Daniel JungMajorantenkriterium, Definition am Beispiel, Konvergenz von Reihen | Mathe by Daniel JungMinorantenkriterium, Definition am Beispiel, Konvergenz/Divergenz von ReihenReihen auf Konvergenz untersuchen, Quotientenkriterium Teil 1 | Mathe by Daniel JungReihen auf Konvergenz untersuchen, Wurzelkriterium | Mathe by Daniel JungReihen auf Konvergenz untersuchen, Leibniz-Kriterium | Mathe by Daniel Jung Ausschlaggebend für die Verwendung des Leibnizkriteriums ist, dass die Folge $a_k$ mit jedem nächstgrößeren k das Vorzeichen wechselt (sie alterniert):Im vorherigen Kapitel sind die verschiedenen Konvergenzkriterien beschrieben worden. Aber es ist tatsächlich einfach die, mit der man die meisten Sachen gut zeigen kann). Auch: was soll „kleiner“ (bzw, größer) überhaupt genau bedeuten ? \right| = \frac{2^{n+1} n! Also zum Beispiel vergleichen wir $ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} $ mit dem Integral $\int_{1}^\infty \frac{1}{x} dx$. Um das alles jedoch zu verinnerlichen, hilft es nur, sehr viele Reihen selbstständig zu untersuchen, und so die beschriebenen Schritte nachzuvollziehen und zu verinnerlichen.Es ist möglich, das Konvergenzverhalten von vielen Reihen — ohne jegliche Rechnung — im Vorfeld abzuschätzen.

Zähler“‚ $=2-1=1\leq 1$. Es besagt:Eine Reihe $\sum a_n$ kann nur dann konvergieren, wenn $(a_n)$ eine Nullfolge ist.Das sollte auch klar sein, denn nur, wenn die Summanden immer kleiner werden, haben wir überhaupt eine Chance, dass die Summe einen endlichen Wert hat.Das Nullfolgenkriterium ist aber auch nur ein notwendiges Kriterium, kein hinreichendes Kriterium!

Aus Gl. These cookies will be stored in your browser only with your consent. Da $3^n$ im Zähler und $3>2$, wird die Reihe divergieren.c) Exponentialfkt. Schließlich gilt $\frac{1}{n^2} \geq \frac{1}{n^3}$. Dieses Beispiel soll veranschaulichen, dass bei alternierenden Reihen nicht immer zwangsläufig das Leibniz-Kriterium angewendet werden kann. Das Nullfolgenkriterium ist das grundlegendste Kriterium. Was passiert wenn wir das Quotientenkriterium auf die harmonische Reihe anwenden?$$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left| \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}\right| = \left| \frac{n}{n+1}\right| = \frac{n}{n+1} $$Nun, das ist zwar immer $<1$ aber wir finden niemals ein $q<1$ sodass $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q < 1$ gilt! Da unsere Reihe kleiner ist, muss auch der Wert der Reihe kleiner sein als derjenige der Majorante, und damit muss unsere Reihe auch konvergent sein.

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